版权声明：本文为博主原创，如需转载请注明出处。
作者简介
艾伦伯格和一般的数学家不一样的地方是，他是个文学爱好者，曾经写过一本严肃小说，还经常参加文学评奖。这种爱好和背景使得他更愿意把数学王国的神秘知识讲给普通读者。这本书的英文原名是：How Not To Be Wrong: The Power of Mathematical Thinking.
感悟
艾伦伯格讲到，数学思维可以帮助我们戴上X光眼镜，穿透纷繁复杂的现象，看到本质。他把数学知识分为四类，一类是浅显而且简单的，比如我们小学学的算术，一类是浅显但是复杂的，比如多位数的乘法，或是复杂定积分的计算。第三类是职业数学家的领域，是复杂而且深奥的，比如数论，最后一类是深奥但是简单的，这才是我们普通人需要关注的数学思维。本书中主要讲述了线性回归、大数定律、零假设与显著性检验、随机性、期望值、相关性，最后还反思了数学中形式主义的缺陷。
金句
学习数学的精髓时不能只抱着应付差事的心理，而应该把这些知识融入日常思维，并通过各种激励手段使它们反复出现在你的脑海里。 ——伯特兰·罗素（Bertrand Russell）， 《数学研究》（The Study of Mathematics
值得庆幸的是，对于这个问题，我们能找到一个更好的答案： “尽管一些数学课程会要求你完成一道又一道计算题，让你觉得这些机械的计算过程不榨干你的所有耐心与精力就不会罢休，但事实并非如此。学习数学必须计算这些定积分题，就像足球运动员需要接受举重与韧性训练。如果你希望踢好足球（我是指抱着一种认真的态度，达到竞技水平），就必须接受大量枯燥、重复、看似毫无意义的训练。职业足球运动员在比赛时会用到这些训练内容吗？不会的，我们从未在赛场上看到有足球运动员举杠铃或者在交通锥之间穿梭前行。但是，我们肯定会看到他们应用力量、速度、观察力与柔韧性，而要提高这些能力，他们必须常年接受枯燥乏味的训练。可以说，这些训练内容是足球运动的一个组成部分
从事数学研究的人经常会询问：“你的假设是什么？这些假设合理吗？
对于数学家而言，导致弹孔问题的是一种叫作“幸存者偏差”（survivorship bias）的现象。这种现象几乎在所有的环境条件下都存在，一旦我们像瓦尔德那样熟悉它，在我们的眼中它就无所遁形
数学中的事实可能非常简单，也可能非常复杂，可能十分浅显，也可能十分深奥。这样的特点将数学一分为四： 像1+2=3这样比较基础的算术题结构简单，内容也不那么深奥。sin2x=2sinxcosx及二次方程式等基础内容也大致差不多，虽然与1+2=3相比，理解这些内容可能需要多花点儿时间和精力，但是它们在概念上并没有多大的理解难度
卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）把数论称作“数学皇后”，认为它是理论程度最高的学科之一，也是位于理论数学这方净土核心位置的一个不为人所知的乐园。它曾经让希腊人头疼不已，并在随后的2 500年里不断地折磨着一代代数学人
这两幅图的差异其实就是线性与非线性之间的差异，这是数学领域最重要的差异之一
非线性思维表明，正确的前进方向取决于你当前所在的位置
称作“拉弗曲线”（Laffer curve）
瑞典模式化程度”表示“社会服务与福利的特点”，而不是指瑞典的其他特点
基本的数学思想：如果老天要我们解决一个非常难的问题，那么我们应该想方设法找到一个简单的问题，而且这个简单的问题与难的问题非常接近，这样，老天也不会有反对意见
在数学中，对新观点、新概念最清楚明了的描述，基本上都不是直接来自创建者本人。
计算积分或者进行线性回归，用计算机就能完成，但是，判断所得结果是否有意义，或者判断所采用的方法是否正确，则离不开人的智慧
威廉·卡洛斯·威廉姆斯（William Carlos Williams）[5]说过一句简明扼要的话：凡理皆寓于物
数学领域规避错误的一个重要原则是：实地测试某个数学方法时，可采用不同的方式进行计算。如果得到不同的结果，则说明我们使用的方法有问题
这只不讲情面、无法抗拒的“手”就是“大数定律”（Law of Large Numbers）
大数定律不会对已经发生的情况进行平衡，而是利用新的数据来削弱它的影响力，直至前面的结果从比例上看影响力非常小，可以忽略不计。这就是大数定律发生作用的原理
因此，我们必须牢记下面这条箴言： 在数字有可能是负值时，不要讨论它们的百分比
用一个数除以另一个数只是单纯的计算，考虑清楚用什么除以什么才是真正的数学问题
所谓零假设，指的是假设所研究的介入活动不起任何作用
如何推翻零假设呢？我们可以借助某个标准框架——“显著性检验”（signifi cance testing），来实现这个目的
人类倾向于在不存在规律的地方总结出规律，在存在某种规律的地方又会夸大这些规律的影响力
先验概率描述的是看到相关证据之前的置信度，而后验概率描述的是看到相关证据之后的置信度
在现实世界中，数学家是一群普普通通的人，过着平常的生活。他们的确会在困难重重的抽象世界里孤身奋战，但这样的状况并不是经常发生
数学家不会过度用脑而使自己崩溃，相反，数学研究往往会使他们的心理更加健康。我发现，在极端情绪出现时，数学问题往往具有最强的安抚作用，可以消除某些心理疾病。与冥想一样，数学也可以让我们直接接触宇宙，将我们置身于广袤的天地间。如果不让我钻研数学，我反倒有可能发疯
这种令人烦恼的循环叫作“孔多塞悖论”（Condorcet paradox），是法国启蒙运动时期的哲学家孔多塞（Condorcet）于18世纪末发现的
马克·吐温有一句话说得非常好：“电报、蒸汽机、留声机、电话等重要发明，往往需要成千上万人的努力，但得到荣誉的总是取得最后胜利的那个人，而其他人则被忘得一干二净。
陶哲轩指出： 在大众心目中，离群索居（还可能有点儿疯狂）的天才往往对文献资料等前人智慧的结晶视而不见，但他们总能获得神秘的灵感（有时候是在经过痛苦的思考之后突然获得的），在所有专家都一筹莫展的时候，为某个问题提供独创性的解决方法，令所有人大吃一惊。这样的人物形象的确充满传奇色彩，但至少在现代数学领域是不存在的。虽然我们的确有很多惊人的数学结论和深刻的数学定理，但它们都是众多杰出的数学家几年、几十年甚至几百年不懈努力的结果。理解层面上的每次突破的确都很不平凡，有些甚至出人意料，但这些突破都是建立在前人努力的基础之上，而不是凭空出现的全新成果……在现实中，人们在直觉、文献的指引下，通过刻苦钻研，再加上一点儿运气，在数学研究过程中不断取得进展。事实上，我甚至觉得这种情况比上述充满传奇色彩的想象更令我热血沸腾，尽管上学的时候，我取得的进步也大多源自专属于少数“天才”的神秘灵感